GRUNDBEGRIFFE DER MATHEMATIK
AUSSAGEN
Zeichen und Zeichenreihen in der Mathematik
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Eine Variable ist keine Größe die sich ändert, sondern eine Leerstelle, in die ein Element eingesetzt werden kann. In mathematischen Ausdrücken können Buchstaben oder grafische Symbole als Platzhalter für bestimmte Zahlen verwendet werden. Diese Buchstaben bzw. Symbole werden Variable, aber auch Veränderliche oder Unbekannte genannt.
Beispiel 4: Franz wird einkaufen geschickt. Er soll für die Geschwister um höchstens 10€ Getränke kaufen. Eine Flasche Limonade kostet 1,50€.
1,50€ · x ≤ 10€
x ist die Variable für die Anzahl der Limonadenflaschen
Für eine Flasche Limonade (F) ist das Leergut (L), der Inhalt und der um einen Euro teurere Inhalt als das Leergut zu bezahlen .
F = L + (L+1€)
F bzw. L sind die Variablen für den Preis der vollen und leeren Flasche.
Für die Variable kann jedes Element eines vorgegebenen Grundbereichs G (Variablengrundbereich) eingesetzt werden. Zu einer Variablen gehört stets ein zugehöriger Grundbereich. Grundbereiche können Mengen, insbesondere Mengen von Zahlen, oder Größenbereiche sein.
1,50€ · x ≤ 10€
Hier steht
x für eine Anzahl. Der Grundbereich für
x ist daher die Menge der natürlichen Zahlen.
Es ist G = N.
Eine Flasche kostet 1,50€. 2 Flaschen kosten 3€. 3 Flaschen 4,50€. 4 kosten 6€. 5 kosten 7,50€. 6 kosten 9€. 7 Flaschen würden aber schon 10,50€ kosten.
Franz kann also eine, zwei, drei, vier, fünf oder sechs Flaschen kaufen, wenn er höchstens 10€ ausgeben darf.
Beispiel 5: Jetzt stellen wir die Frage wieviel die volle Flasche kosten würde, wenn für das Leergut 15Cent, 20Cent, 25Cent, 30Cent oder 35Cent verrechnet würden?
F = L + (L + 1€)
F wird als Lösungsvariable, L als die Formvariable bezeichnet
F1 = L1 + (L1 +1€) = 0,15€ + (0,15€ + 1€) = 1,30€
Die volle Flasche würde 1,30€ kosten.
F2 = L2 + (L2 +1€) = 0,2€ + (0,2€ + 1€) = 1,40€
Die volle Flasche würde 1,40€ kosten.
F3 = L3 + (L3 +1€) = 0,25€ + (0,25€ + 1€) = 1,50€
Der Inhalt der Flasche in Beispiel 4 kostet also 1,25€ und das Leergut 25Cent.
F4 = L4 + (L4 +1€) = 0,3€ + (0,3€ + 1€) = 1,60€
Die volle Flasche würde 1,60€ kosten.
F5 = L5 + (L5 +1€) = 0,35€ + (0,35€ + 1€) = 1,70€
Die volle Flasche würde 1,70€ kosten.
Zahlzeichen, Variable sowie alle sinnvollen Verbindungen von Zahlzeichen und Variablen mit Operationszeichen werden als Terme bezeichnet. Bei Termen mit Variablen unterscheidet man Terme mit einer, zwei drei oder mehreren Variablen. Diese werden z. B mit T(x), T(x; y) oder T(x; y; z) usw. bezeichnet.
Enthalten Terme keine Variablen kann ihr Termwert sofort angegeben oder ausgerechnet werden. Wird für die Variablen ein Element aus einem Grundbereich G eingesetzt, nimmt der Term stets einen konkreten Wert an.
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Term |
Beispiele aus G |
Einsetzen |
Termwert |
Frage: Ist der folgende mathematische Ausdruck ein Term? 1,50€ · x ≤ 10€
Begründen sie ihre Antwort! |
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T1: 54 |
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54 |
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T2: a(3 + x) |
a = 4; x = −3 |
4[3 + (−3)] |
0 |
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T3: 36 + 48 |
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84 |
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T4: Ö36 |
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6 |
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T5: (2x −3y)3 |
x = 3; y = 1 |
(2 · 3 − 3 · 1)3 |
27 |
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T6: (a + b)(a − b) |
a = 6; b = 2 |
(6 − 2)(6 + 2) |
32 |